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Présentation des courbes de BézierIntroductionLes courbes Bézier sont utilisées dans de très nombreuses applications:
Cette note est orientée programmation Delphi. Nous allons éviter la théorie mathématique, et exposer les courbes de Bézier le plus simplement possible, c'est à dire à l'aide de constructions géométriques. Vous ne trouverez pas dans cette note des termes mathématiques comme : application affine, barycenctre, polynômes de Bernstein. La théorie de Bézier s'applique principalement aux surfaces de Bézier, en 3 D. Mais, pour simplifier, nous resterons dans le cadre des courbes de Bézier en 2 dimensions . HistoriqueAu début des années 60, les machines numériques ne savaient usiner de façon précise que des courbes simples comme des paraboles ou des ellipses. Une seconde catégorie d'objets, au contraire, offrait une forme a priori peu précise, déterminée expérimentalement. Les hélices d'avions, les coques de bateaux et les carrosseries de voitures étaient tracées à main levée, sans que l'on puisse décrire leurs formes par une formule mathématique. Pierre Bézier, ingénieur français diplômé du Conservatoire national des arts et métiers, poursuivait, une carrière à la Régie Renault, atteignant le poste de directeur des méthodes mécaniques. Les machines à commande numérique de cette époque
offraient une programmation limitée. Il fallait les alimenter
avec des nombres, ce que l'on savait faire pour des déplacements
élémentaires comme des droites, des arcs de cercle,
et à la rigueur des ellipses. Mais il n'était pas question
de programmer des courbes quelconques, tracées à la
main, faute d'une définition numérique de celles-ci.
Mais ses recherches n'étaient pas entièrement originales. Dès 1958, un mathématicien employé par Citroen, Paul de Casteljau, s'était attaqué au même problème. Paul de Casteljau était chargé de numériser une courbe, une fois celle-ci tracée, sans se poser la question d'une correction a posteriori. Il définissait ses courbes comme caractérisées par des pôles, d'une façon nettement moins parlante que les points de contrôle de Bézier. L'aventure de Pierre Bézier aurait pu s'arrêter là. Mais un groupe de développeurs liés à Apple créa un langage adapté à la future imprimante laser conçue pour le Mac. Il s'agissait de trouver un moyen de définir mathématiquement une courbe, comme le tracé d'un caractère, avant de l'envoyer à l'imprimante. L'un de ces développeurs connaissait le travail du Français. Tout naturellement, il choisit les courbes de Bézier comme base du langage PostScript et fonda la société Adobe. Microsoft adopta à son tour les polices true-type à partir de Windows 3.1. Ces polices utilisent les courbes de Bézier pour définir les caractères aux formes arrondies. |
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